Morley trigonométrico

Publicado el 21/05/2013 by fede

Introducción

Las líneas de puntos de la figura siguiente son trisectores interiores y exteriores de los ángulos del triángulo $ABC$ . Por el teorema de Morley, esas líneas se cortan en vértices de triángulos equiláteros.

Además el lado de un triángulo equilátero de la figura es igual a ocho veces el radio de la circunferencia circunscrita a $ABC$ multiplicado por el producto de los senos de los tres ángulos sombreados que contienen a ese triángulo equilátero, tocándolo en dos vértices.
(El seno de un ángulo sombreado en azul es igual al seno del ángulo rojo adyacente.)

Damos aquí una demostración elemental y directa de esos hechos a partir del teorema del seno, el teorema del coseno y la identidad trigonométrica:
$\sin 3\alpha = 4 \cdot \sin \alpha \cdot \sin \alpha^{ \prime} \cdot \sin \alpha^{ \prime \prime}$ ,
donde usamos la notación $x^{\prime} = x+60^{\circ}$ , $x^{\prime \prime} = x+120^{\circ}$ .

También usaremos la notación $[xyz]$ para la expresión $8R \sin x \sin y \sin z$ , donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ .
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Proclo sobre el origen de la geometría

Publicado el 19/05/2013 by fede

El capítulo IV de la segunda parte del prólogo al Comentario al primer libro de los Elementos de Euclides, de Proclo Diádoco, contiene una breve descripción del origen y desarrollo de la geometría, que es conocida como “sumario de Eudemo”, porque se supone comunmente que de Eudemo de Rodas proviene la mayoría de los datos que contiene. o como “catálogo de geómetras”, porque contiene una lista de nombres que contribuyeron al desarrollo inicial de la geometría.

El artículo de Conrado Eggers Lan, Eudemo y el “catálogo de geómetras” de Proclo (Emerita Vol. 53.1, 1985, pags 127-157) contiene una traducción (pags 132-136) y una discusión de las fuentes del texto.

El texto de Proclo, en la traducción de Eggers Lan, comienza así:

“Ahora debemos hablar sobre el nacimiento de la Geometría en el periodo actual. El divino Aristóteles, en efecto, ha dicho que las mismas opiniones ocurren a los hombres muchas veces conforme ciertos períodos regulares del universo. Las ciencias no han alcanzado su constitución por primera vez entre nosotros o entre hombres conocidos por nosotros, sino que también han aparecido y después desaparecido en todos aquellos ciclos, incontables, que han tenido lugar y que, a su turno, tendrán lugar.

Ahora bien, puesto que debemos examinar los comienzos de las técnicas y de las ciencias en el presente período, diremos, como ha sido narrado por la mayoría, que la geometría fue descubierta primeramente por los egipcios, y que debió su origen a la medición de las tierras. Tuvieron necesidad de ella, en efecto, a causa de las crecidas del Nilo, que borraban los límites propios de cada lote.

No es asombroso que el descubrimiento de esta ciencia y el de las demás haya surgido a partir de la necesidad, puesto que todo lo que se mueve en el devenir avanza desde lo imperfecto hacia lo perfecto. Resulta así natural el tránsito desde la percepción hasta el razonamiento, y desde éste hasta la intelección. Tal como el conocimiento exacto de los números debió su origen al comercio e intercambio entre los fenicios, así también la geometría fue descubierta por los egipcios por la causa mencionada.”

A continuación Proclo expone el desarrollo de la geometría en Grecia, comenzando por Tales.

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La primera geometría.
Ocio necesario.

En torno a la figura de Euclides I.47

Publicado el 12/05/2013 by fede

Demostramos aquí alguna propiedad adicional de la figura de la proposición I.47 de los Elementos de Euclides.

En la figura tenemos cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo $ABC$ . En las entradas anteriores hemos dado cuatro demostraciones diferentes del hecho de que las rectas $AF, BD$ y la altura desde $C$ se cortan en un punto.

Además se cumplen otras propiedades curiosas, por ejemplo:

$CM$ es igual a $CN$ e igual a la mitad de la media armónica de los catetos $CA,CB$ .
El área de los 4 triángulos sombreados es la misma.
$DH^2 + FK^2 = 5 \cdot GE^2 = 5 \cdot AB^2$

La primera afirmación de deduce de la semejanza de $\triangle DAM$ y $\triangle BCM$ , y de $\triangle FBN$ y $\triangle ACN$ .

La segunda afirmación se obtiene del hecho de que $\triangle DSA$ es congruente con $\triangle APC$ y $\triangle FTB$ con $\triangle BPC$ .

Para la tercera afirmación, sea $D'$ el pie de la perpendicular desde $H$ sobre $DA$ . Entonces $\angle HAD'= \angle BAC$ , $\triangle AHD'$ es semejante a $\triangle BAC$ , y como $AH=AB$ , esos triángulos son congruentes, $AD'=AD=AC$ y $HD'=BC$ .
Entonces $DH^2 = BC^2 + (2\cdot AC)^2 = BC^2 + 4 \cdot AC^2$ .
De la misma forma $FK^2 = AC^2 + 4 \cdot BC^2$ y por tanto $DH^2 + FK^2 = 5\cdot AB^2$ .

Fuente: Casey. A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, pag. 16-17.

El punto de Herón con la razón doble

Publicado el 07/05/2013 by fede

Demostramos aquí la generalización, mencionada en la entrada anterior, de la concurrencia de Herón al caso en que el ángulo $\angle ACB$ no es recto.
En concreto se demuestra que si, en la figura, $AD, BF$ son perpendiculares repectivamente a $AC,BC$ y $AF, BD$ se cortan en un punto $K$ de la altura $CC'$ , entonces $AD/AC = BF/BC.$

La siguiente demostración se basa en el hecho de que las proyecciones conservan la razon doble de 4 puntos.
Dados 4 puntos $A,B,C,D$ en una recta proyectiva su razón doble es $\dfrac{AC}{AD} \cdot \dfrac{BD}{BC}$ .
La notación usual $(ABCD) \barwedge (A'B'C'D')$ para rangos de puntos situados en dos rectas proyectivas indica que los puntos $A,B,C,D$ se pueden conectar respectivamente con $A',B',C',D'$ mediante una sucesión de proyecciones entre rectas en el plano, o, lo que es lo mismo, que la razon doble de $ABCD$ es la misma que la de $A'B'C'D'$

En la figura adjunta $H$ es el ortocentro de $ABC.$
Proyectando desde $B$ tenemos que $(\infty DAN) \barwedge (HKC'C)$ .
Y proyectando estos puntos desde $A$ , $(HKC'C) \barwedge (\infty FBM)$ .
Por tanto $(\infty DAN) \barwedge (\infty FBM)$ , es decir $\dfrac{DA}{DN} = \dfrac{FB}{FM}$ y entonces $\dfrac{DA}{AN} = \dfrac{FB}{BM}$ o $\dfrac{DA}{FB} = \dfrac{AN}{BM}$ .
Pero los triángulos rectángulos $CBM,CAN$ son semejantes y por tanto $\dfrac{AN}{BM} = \dfrac{AC}{BC}$ , de donde resulta que $\dfrac{DA}{AC} = \dfrac{FB}{BC}$ , como queríamos demostrar.

El hecho de que, aunque $\angle ACB$ no sea recto, $AF, BD$ se cortan en la altura desde $C$ si $AD=AC$ y $BF=BC$ fue comunicado por Vecten en 1817 en los Annales de Gergonne¹, y, para el caso más general en que $AD/AC = BF/BC$ , por Querret en 1825 en la misma revista², con demostración que no usa conceptos de geometría proyectiva.

¹ – Vecten. Extrait d’une lettre au rédacteur des Annales. Annales de Gergonne 7 (1816-1817) p. 321-324.
² – Querret, Gergonne. Démonstration de deux théorèmes de géométrie… Annales de Gergonne 15 (1824-1825) p. 84-89.

El punto de Herón vía Ceva

Publicado el 06/05/2013 by fede

El teorema de Ceva afirma que, con las letras de la figura, $AA', BB', CC'$ se cortan en un punto si y solo si $\dfrac{A'B}{A'C} \cdot \dfrac{B'C}{B'A} \cdot \dfrac{C'A}{C'B} = -1.$

Aplicando ese teorema Gergonne dio una demostración¹ del hecho de que las líneas $AF,BD, CC'$ de la figura se cortan en un punto, al que hemos llamado punto de Herón.

La demostración de Gergonne se adapta fácilmente para demostrar que si $AD'/AD = BF'/BF$ entonces $AF',BD',CC'$ se cortan en un punto, hecho que demostramos en la entrada anterior usando el teorema de Pappus.

Sea $m=\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{BF}{BC}.$
Como $\triangle BA'F, \triangle CA'A$ son semejantes, $\dfrac {A'B}{A'C} = \dfrac{BF}{AC} = \dfrac {m \cdot BC}{AC}$ .
Y como $\triangle AB'D, \triangle CB'B$ son semejantes, $\dfrac {B'C}{B'A} = \dfrac{BC}{AD} = \dfrac {BC}{m \cdot AC}$ .
Por otro lado, como $\angle ACB$ es recto, $\triangle ACB \simeq \triangle AC'C \simeq \triangle CC'B$ y $\dfrac{C'A}{AC} = \dfrac{AC}{AB}, \ \dfrac{C'B}{BC} = \dfrac{BC}{AB}$ , de donde $\dfrac{C'A}{C'B} = \dfrac{AC^2}{BC^2}$ .
Entonces, como $\dfrac{C'A}{C'B}$ es negativo, y $\dfrac{A'B}{A'C}, \ \dfrac{B'C}{B'A}$ tienen el mismo signo, resulta que $\dfrac{A'B}{A'C} \cdot \dfrac{B'C}{B'A} \cdot \dfrac{C'A}{C'B} = -1.$

Esta demostración, como la basada en el teorema de Pappus y la dada por Herón no se aplica al caso en que $\angle ACB$ no sea recto.

Pero la concurrencia de las rectas $BD, AF$ y la altura desde $C$ en un punto se da para cualquier ángulo $\angle ACB$ .

¹ – Gergonne. Démonstration d’un théorème énoncé dans le Philosophical Magazine, pour septembre 1823. Annales de Gergonne, 14, 1823-1824 p. 334-336

El punto de Herón vía Pappus

Publicado el 26/04/2013 by fede

En la entrada anterior dimos la demostración de Herón de que las rectas $AF$ y $BD$ de la figura se cortan en la altura desde $C$ .
Aquí demostramos ese hecho usando el dual del teorema de Pappus.
De la aplicación de ese teorema resulta que también las rectas $AF', BD'$ se cortan en esa altura si $D',F'$ están respectivamente en las rectas $AD,BF$ y son tales que $AD'/AD = BF'/BF.$

El teorema de Pappus dice que si los 6 vértices de un hexágono $AB'CA'BC'$ en el plano proyectivo están situados alternativamente en 2 rectas, los 3 puntos $A'',B'',C''$ de intersección de los lados opuestos del hexágono están en una recta, y su dual dice que si los 6 lados de un hexágono $ab'ca'bc'$ en el plano proyectivo pasan alternativamente por 2 puntos, las 3 rectas $a'',b'',c''$ que unen vértices opuestos del hexágono concurren en un punto.

La concurrencia de las lineas en el punto de Herón de un triángulo rectángulo resulta de aplicar el dual del teorema de Pappus:

Obtenemos el punto $K$ , intersección de los lados $DE,FG$ de los cuadrados sobre los lados $AC,BC$ .
En la entrada anterior se demostró que $K,C,P$ están alineados.
Aplicando el dual del teorema de Pappus al hexágono $KDACBF$ , cuyos lados pasan alternativamente por los 2 puntos del infinito representados por las direcciones de los lados del hexágono, resulta inmediatamente que $DB,AF,PK$ concurren en un punto.

Por lo mismo es claro que la concurrencia de las tres rectas en un punto se da también si en lugar de unir los vértices del triángulo con los vértices opuestos de los cuadrados situados hacia el exterior sobre los lados, los unimos con vértices opuestos de rectángulos semejantes situados en el mismo sentido sobre los lados.

Esta entrada participa en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog eulerianos.

El punto de Herón en Herón

Publicado el 24/04/2013 by fede

La figura de la proposición I.47 de los Elementos de Euclides, que demuestra el teorema de Pitágoras, tiene la propiedad de que las rectas $AF, BD$ , y la altura $CP$ son concurrentes en un punto, al que llamamos punto de Herón, porque de Herón tenemos la demostración más antigua que se conoce de ese hecho, demostración expuesta por Al Nayrizi en su Comentario sobre el libro I de los Elementos, y que damos a continuación.

La proposición I.43 de los Elementos dice que si el punto $E$ de la figura está situado en la diagonal $BC$ , los paralelogramos $AE$ y $DE$ tienen la misma área.
Herón demuestra como lema previo la recíproca, es decir, si esos paralelogramos tienen la misma área entonces $E$ está en la diagonal $BC.$

En la figura siguiente, a partir de los cuadrados $CD$ y $CF$ sobre los catetos $AC$ y $BC$ , Herón completa el cuadrado $KFLD.$
Unimos $CK$ , entonces $\triangle CEK$ es congruente con $ACB$ , y $\angle PCB = \angle CAB$ porque los dos son complementarios del $\angle ABC$ .
Por tanto $\angle PCB = \angle ECK$ y entonces $P,C,K$ están alineados.
Sea $H$ el punto de intersección de $BD$ con $PK$ .
Aplicando I.43 al rectángulo $HK$ , tenemos que los rectángulos $EH$ y $GH$ tienen la misma área.
Y aplicando de nuevo I.43 al rectángulo $BD$ , tenemos que los rectángulos $EH$ y $HL$ tienen la misma área.
Entonces $GH$ y $HL$ tienen la misma área, y aplicando la recíproca de I.43 al rectángulo $FA$ , resulta que $H$ está en la recta $FA$ , como queríamos demostrar.

Es una sencilla demostración que solo usa proposiciones del libro I.
El lector puede encontrar alguna otra. En las siguientes entradas veremos más.

Esta entrada participa en la Edición 4.123 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog eulerianos.

El teorema de Pitágoras en Euclides

Publicado el 23/04/2013 by fede

Euclides da dos demostraciones del teorema de Pitágoras en los Elementos, una que no usa proporciones y otra basada en la teoría de la proporción.
Las dos demostraciones prueban algo más que el teorema.

Euclides I.47

En la proposición I.47 se prueba que si tenemos un triángulo $ABC$ como en la figura con ángulo recto en $C$ y construimos cuadrados sobre los lados, la perpendicular $CNM$ desde $C$ sobre la hipotenusa $AB$ divide al cuadrado sobre la hipotenusa en dos rectángulos, $ANMH$ igual al cuadrado sobre el cateto $AC$ y $BNMK$ igual al cuadrado sobre el cateto $BC.$
Porque $\angle FAB = \angle CAH$ , puesto que cada uno de ellos es $\angle CAB$ más un recto, y entonces $\triangle FAB \ \text{y} \ \triangle CAH$ son congruentes y su área es la misma. Pero el área de $\triangle AFB$ es igual al área de $\triangle AFC$ , porque la altura sobre la base $AF$ es la misma, y el área de $\triangle AHC$ es igual al área de $\triangle AHN$ , porque la altura sobre la base $AH$ es la misma. Entonces el rectángulo $ANHM$ es igual al cuadrado sobre $AC$ .
De la misma forma el rectángulo $BNMK$ es igual al cuadrado sobre $BC$ .

En la proposición I.48 Euclides demuestra el recíproco del teorema de Pitágoras: si $a,b,c$ son los lados de un triángulo y $c^2 = a^2+b^2$ , entonces el ángulo opuesto al lado $c$ es recto.

Euclides VI.31

En la proposición VI.31 se prueba que si tenemos un triángulo $ABC$ como en la figura con ángulo recto en $C$ y construimos figuras rectilineas semejantes sobre los lados, proporcionales a estos, el área de la figura sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras sobre los catetos.

Euclides no utiliza I.47 en la demostración de esta proposición, y por tanto, en el caso de que las figuras semejantes sean cuadrados, tenemos aquí una segunda demostración del teorema de Pitágoras en los Elementos.

En la figura, si $\angle C$ es recto, $\triangle CAB, \triangle DAC, \triangle DCB$ son semejantes (VI.8), y entonces $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AC}{AD}$ y por tanto $\dfrac{AB}{AD} = \left (\dfrac{AB}{AC}\right )^2$ , y, por el corolario a VI.20, $\dfrac{AB}{AD}$ es la razón entre el área de la figura sobre $AB$ y el área de la figura sobre $AC$ . De la misma forma $\dfrac{AB}{BD}$ es la razón entre el área de la figura sobre $AB$ y el área de la figura sobre $BC$ .
Entonces, por V.24, la razón entre la suma de las áreas de las figuras sobre los catetos y el área de la figura sobre la hipotenusa es $\dfrac{AD+DB}{AB} = 1$ .