La tercera ley de Kepler

En la proposición 15 de los Principia Newton demuestra que la ley de gravedad, es decir el hecho de que la fuerza de atracción sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, implica la tercera ley de Kepler. (Que implica las dos primeras leyes quedó demostrado en las proposiciones 1 y 13.1).

Proposición 14
“Si varios cuerpos giran en torno a un centro común y la fuerza centrípeta es inversamente como el cuadrado de la distancia de los lugares al centro, digo que los lados rectos de las órbitas son como los cuadrados de las áreas barridas en tiempos iguales por los radios trazados al centro”.
Esta es la proposición 14 de los Principia, que demostramos a continuación de forma distinta a como lo hace Newton.
Si F_P es la fuerza en P, y \tau es el área barrida por unidad de tiempo, por la observación de la entrada anterior F_P \propto \dfrac{\tau^2}{ PV \cdot SY^2}.
Si F_P \propto \dfrac{1}{SP^2}, las trayectorias serán secciones cónicas, pero vimos que en una cónica PV \cdot SY^2 = 2\ SL \cdot SP^2, entonces F_P \propto \dfrac{\tau^2}{ SL \cdot SP^2}, y como está dada la proporción F_P \propto \dfrac{1}{SP^2}, será necesariamente SL \propto \tau^2, ó \tau \propto \sqrt{SL}, es decir las áreas barridas por unidad de tiempo en las diferentes cónicas son proporcionales a las raíces de los lados rectos de esas cónicas.

Corolario 14.1
Si la órbita es una elipse, el punto móvil vuelve a la misma posición tras un periodo T. Entonces el área E de la elipse será E = \tau \cdot T, porque \tau es el área barrida por unidad de tiempo, y en el periodo T se barre toda la superficie de la elipse. Por tanto E \propto T \cdot \sqrt{SL}. Como esa área es proporcional al producto M \cdot m de los ejes mayor y menor de la elipse, será M \cdot m \propto T \cdot \sqrt{SL}.

Proposición 15
“Supuesto esto (la ley de gravedad), digo que los tiempos periódicos en las elipses son como los ejes mayores elevados a la potencia 3/2″.
Porque, por Apolonio I.15, m^2 = M \cdot LL', donde LL' es el lado recto, y por tanto m = M^{1/2} \sqrt{LL'}, y sustituyendo en la proporción del corolario 14.1 tenemos M^{3/2} \sqrt{2\ SL} \propto T \sqrt{SL}, es decir M^{3/2} \propto T como queríamos demostrar.

Tasa de barrido y fuerzas centrales

La proposición 6 de los Principia de Newton es válida para fuerzas ejercidas en puntos de la misma o de diferentes trayectorias, pero las proporciones obtenidas en los corolarios de esa proposición solo comparan fuerzas en puntos de una misma trayectoria, o de trayectorias diferentes siempre que el área barrida (por el radio entre el centro de fuerzas y el punto móvil) sea la misma en tiempos iguales en las diferentes trayectorias. (Porque en la demostración de esos corolarios se supone que las áreas barridas son proporcionales a los tiempos).

Como una fuerza central obliga a barrer áreas iguales en tiempos iguales en cada trayectoria, pero no a que esas áreas barridas sean iguales en distintas trayectorias, para comparar fuerzas en diferentes trayectorias introducimos un factor \tau , la tasa de barrido, que es el área barrida por unidad de tiempo, \tau = \dfrac{\text{area}}{\Delta t} \ \Longrightarrow \ \Delta t = \dfrac{\text{area}}{\tau}.

Los corolarios de la proposición 6 se obtuvieron sustituyendo \Delta t por el área en el factor \dfrac{1}{\Delta t^2}. Si sustituimos teniendo en cuenta el factor \tau, el numerador de las fórmulas obtenidas en los corolarios 6.1-3 queda multiplicado por \tau^2 y el corolario 6.3 se convierte en F_P \propto \dfrac{\tau^2}{PV \cdot SY^2}, donde SY es la distancia del centro de fuerzas a la tangente y PV es la cuerda de la circunferencia osculatriz a la trayectoria en P que pasa por el centro de fuerzas S.

De la misma forma generalizamos el corolario 1 de la proposición 1 que dice que la velocidad v_P es inversamente proporcional a la distancia SY si las áreas barridas son iguales en tiempos iguales.
Como el área barrida es claramente proporcional a la velocidad, tendremos la nueva proporción v_P \propto \dfrac{\tau}{SY}, que es válida para puntos en diferentes trayectorias producidas por una fuerza central.

Entonces el corolario 6.4: F_P \propto \dfrac{v_P^2}{PV} es válido sin modificaciones para comparar fuerzas en puntos de diferentes trayectorias producidas por una fuerza central.

El área de la elipse

En la figura, por Euclides II.14, ED^2 = AD \cdot DB y por Apolonio I.21, E'D^2 = k' \cdot AD \cdot DB, con k' constante.
Por tanto E'D = k \cdot ED y la elipse resulta de una contracción de la circunferencia sobre el diámetro AB.

Como las dilataciones desde una recta multiplican las áreas por el factor de dilatación k, el área de la elipse será el área del círculo por ese factor, es decir, en la figura el área de la elipse es \pi \cdot CF \cdot CF'= \pi \cdot CA \cdot CF'.

Por lo mismo, en una elipse las áreas de los paralelogramos formados por las tangentes en los extremos de dos diámetros conjugados son iguales para todos los pares de diámetros conjugados, porque todos esos paralelogramos resultan de la contracción de un cuadrado circunscrito a la circunferencia.

Ese teorema, incluyendo el caso de la hipérbola, es la proposición VII.31 de las Cónicas de Apolonio. Pero como todavía no hemos definido los extremos de los diámetros conjugados en la hipérbola, dejamos la demostración de ese caso para más adelante.

La ley de gravedad produce cónicas

Consideremos en el espacio un punto fijo S y otro punto móvil P, situado inicialmente en P0.
Si en P0 aplicamos un impulso a P, en una dirección P0T diferente de la de P0S, por la ley de la inercia P se móverá en la dirección del impulso en línea recta a una velocidad uniforme v0, si no se ejerce ninguna fuerza sobre él.
Pero si a partir del impulso inicial se ejerce sobre P una fuerza continua en la dirección de S cuya magnitud varíe de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto P y S, entonces el punto P, sujeto a la inercia y a esa ley central de fuerzas, describirá una trayectoria curva que será siempre una sección cónica de la que S es un foco.

Demostramos aquí ese teorema, que Newton presenta como corolario tras la proposición 13 del primer libro de los Principia, y que, gracias a Halley, originó su escritura.
El teorema es el recíproco del presentado en la entrada anterior.

Están dadas la posición P0 inicial del punto, la dirección y magnitud v0 de la velocidad , y la posición del centro de fuerzas S y la fuerza FP que se ejerce en cada punto, que, por hipótesis, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia SP.

Por el corolario 6.4, como están dadas la magnitud de la velocidad en P0 y de la fuerza, está dada la cuerda P0V de la osculatriz en P0 que pasa por el centro de fuerzas.

Pero podemos construir una cónica que pase por P0 y tenga como tangente la tangente a la trayectoria en P0, tenga a S como foco, y tenga la cuerda P0V de la osculatriz, de cualquier tamaño, en la dirección P0S. (La perpendicular a la normal desde el punto medio M de P0V nos da G. Entonces SG es el eje de la cónica y SG/SP0 la excentricidad).

Si un punto P describe esa cónica partiendo de P0 con velocidad inicial v0, y modula su velocidad de forma que el radio SP barra áreas iguales en tiempos iguales (es decir de forma que la velocidad sea inversamente proporcional a la distancia del foco a la tangente), entonces, por las proposiciones 11,12,13 de los Principia el punto se mueve sometido a una fuerza, en la dirección del foco, inversamente proporcional a SP2, y que será igual en P0 (y por tanto en el resto de los puntos) a la fuerza asumida como hipótesis, porque produce en ese punto la misma curvatura con la misma velocidad.

Y como la trayectoria está determinada unívocamente por la fuerza que se aplica en cada punto junto con la posición y velocidad iniciales del punto móvil, la trayectoria a partir de esas condiciones iniciales será siempre la cónica que hemos construido a partir del foco, la tangente en un punto y la cuerda de curvatura focal en ese punto.

Si la fuerza central está dirigida hacia S, la trayectoria será una elipse, o un trozo de parábola o de hipérbola segun el valor de la excentricidad SG/SP0, y si la fuerza está dirigida en dirección contraria la trayectoria será parte de una hipérbola y SG será mayor que SP0.
La circunferencia es un caso particular de elipse, en la que que los focos y el centro coinciden.

La ley de fuerzas focal

Supongamos que un punto P se mueve sobre una cónica con foco S de forma que el segmento SP barre áreas iguales en tiempos iguales. Entonces, por la proposición 2 de los Principia de Newton, la trayectoria de P es la que produciría la ley de la inercia junto con una determinada fuerza ejercida sobre P en la dirección de la recta SP.
Si la trayectoria es una parábola, una elipse, o la rama próxima al foco de una hipérbola, la fuerza será dirigida hacia el foco, y si es la otra rama de la hipérbola la fuerza será dirigida en dirección opuesta.

Demostramos aquí que la magnitud de esa fuerza, que hace que el punto móvil P describa esa trayectoria, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia SP del foco S a los diferentes puntos de la cónica.

Este es el resultado que Newton obtiene en las proposiciones 11, 12, y 13 de los Principia para la elipse, hipérbola y parábola respectivamente. Newton escribe que, aunque la prueba para la elipse se puede generalizar para cualquier cónica, “dada la dignidad del problema y su utilidad en lo sucesivo confirmaré mediante demostración los demás casos”.

En la segunda edición de los Principia, Newton da dos demostraciones para cada caso, una basada en el corolario 6.1 y otra basada en 6.3, que además usan las proposiciones 7 y 10. En la nota 268 de la llamada “edición de los jesuitas” (en realidad a cargo de los franciscanos Le Seur y Jacquier) se da otra demostración más directa, en la que está inspirada la siguiente, que es un poco más simple:

Por el corolario 6.3 una fuerza central es, en la trayectoria que produce, inversamente proporcional a la cuerda de la osculatriz que pasa por el centro de fuerzas y al cuadrado de la perpendicular desde el centro de fuerzas a la tangente, es decir, con las letras de la figura: F_P \propto \dfrac{1}{PV \cdot SY^2}.
Pero se demostró que en una cónica la cuerda focal de curvatura es PV = \dfrac{2 \ PG^2}{SL}, y también que \dfrac{PG}{SL}  = \dfrac{SP}{SY} , y entonces PV=  \dfrac{2 \ SL \cdot SP^2}{SY^2}.
Sustituyendo PV en la proporción anterior para F_P, y teniendo en cuenta que SL es fijo para una cónica, tenemos que F_P \propto \dfrac{1}{SP^2}.

Es decir, la fuerza ejercida en la dirección del foco que hace que un punto móvil describa una cónica dada cualquiera es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco.


Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog pimedios.

La cuerda de curvatura focal

Sea P un punto de una cónica con foco S, PG el segmento de la normal entre la curva y el eje y SL la mitad de la cuerda LL' que pasa por el foco S y es perpendicular al eje (que es el el lado recto).
En entradas anteriores demostramos, en este orden:
(1) que la proyección PK de PG sobre SP es igual a SL,
(2) que el radio de curvatura en un punto P de una cónica es OP=\dfrac{PG^3}{SL^2},
(3) que la cuerda de curvatura focal PV, es decir la cuerda de la circunferencia osculatriz que pasa por P y por un foco S es PV=\dfrac{2\ PG^2}{SL},
(4) que esa cuerda PV de la osculatriz es igual a la cuerda EH de la cónica que pasa por el foco S y es paralela a la tangente en P.

Aquí presento otra demostración, más simple, donde se prueba primero (4), y de ahí se deduce (3), y de (3), junto con (1), se obtiene (2).


La cuerda de curvatura focal es igual a la cuerda focal paralela a la tangente.
Tomamos un punto Q de la cónica, diferente de P, trazamos la circunferencia que es tangente a la tangente a la cónica en P y que pasa por Q, y trazamos la paralela a PS por Q, que corta a la tangente en T.
Entonces, por Euclides III.37, TP^2 = TQ \cdot TZ, y por Apolonio III.16-21 y una observación sobre la media armónica focal, \dfrac{TP^2}{TQ \cdot TQ^{\prime}} = \dfrac{EH}{PP^{\prime}}.
Entonces \dfrac{TZ}{TQ'} = \dfrac{EH}{PP^{\prime}}.
Si movemos Q hacia P hasta que coincidan, la circunferencia PQZU se convertirá en la osculatriz en P, y se harán TQ' = PP' y TZ = PU, que será la cuerda focal PV de la osculatriz. Por tanto PV=EH, como queríamos demostrar.


La fórmula de la cuerda de curvatura focal.
Como se demostró que la media armonica de SE y SH es SL, y también que la media geométrica de esos segmentos es PG, su media aritmética será \dfrac {PG^2}{SL}, porque las medias armónica, geométrica y aritmética están en progersión geométrica.
Pero la media aritmética de SE y SH es la mitad de la cuerda EH, y entonces esa cuerda, que es igual a la cuerda focal de la osculatriz o cuerda de curvatura focal PV, es PV = \dfrac{2 \ PG^2}{SL}.


La fórmula del radio de curvatura.
Sea M la intersección de SP con la perpendicular a PG por G. Por el teorema del cateto en el triángulo rectángulo PGM,   PK, PG, PM están en progresión geométrica, pero se demostró que PK = SL, y por tanto PM = \dfrac{PG^2}{ SL}, y, como PV = \dfrac{2 \ PG^2}{SL}, resulta que M es el punto medio de PV.
Como el centro O de la osculariz en P es la intersección de la mediatriz de la cuerda PV con la normal PG, el triángulo PMO es rectángulo y entonces PG,PM,PO están en progresión geométrica y PO = \dfrac{PG^3}{ SL^2}.


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Unas fórmulas para la fuerza central

Siguen los corolarios que da Newton en la proposición 6 de los Principia.

Usaremos la notación A \propto B para expresar que A es proporcional a B, es decir que la razón entre magnitudes A, tomadas en diferentes situaciones, es igual a la razón entre las magnitudes B, tomadas en las mismas situaciones. Esas situaciones son en nuestro caso puntos situados en trayectorias producidas por una fuerza central.   Hoy diríamos A = k \cdot B para una constante k, pero para eso hay que admitir en geometría a los números reales, cosa que no hace Newton en los Principia, que se mantienen en el marco conceptual de la antigua teoría griega de la proporción.

En la entrada anterior vimos que, si P es un punto de una trayectoria de un punto móvil producida por la inercia y una fuerza central ejercida desde S, la fuerza en P, F_P, es últimamente directamente proporcional al desplazamiento RQ desde la tangente, paralelo a SP, e inversamente proporcional al cuadrado del tiempo \Delta t en que se recorre PQ, es decir \displaystyle F_P \propto  \lim_{Q \to P } \frac{RQ}{\Delta t ^2}   para una posición fija del centro de fuerzas S.

Corolario 1.
Como, por la proposición 1, \Delta t es proporcional al área barrida por SP, y ese área es últimamente como la del triángulo SQP, que es igual a la del SRP, \Delta t será proporcional a la base SP por la altura QT de ese triángulo y entonces \displaystyle F_P \propto \lim_{Q \to P } \ \frac{RQ}{SP^2 \cdot QT^2}.

Corolario 2.
Como el área del triángulo SRP también es igual a la base PR por la altura SY y \displaystyle \lim_{Q \to P}  \frac{PR}{PQ} = 1, tendremos también \displaystyle F_P \propto \lim_{Q \to P } \ \frac{RQ}{SY^2 \cdot PQ^2}.

Corolario 3.
Consideremos la circunferencia que pasa por P y Q, y que comparte en P la tangente PR con la trayectoria. Sea PU la cuerda de esa circunferencia que pasa por el centro de fuerzas S.
Por igualdad de ángulos inscritos en la circunferencia, y \angle RPQ = \angle PUQ. Como RQ y PU son paralelas, \angle RQP = \angle QPU , y los triángulos PUQ y QPR son semejantes, y PQ/QR = PU/PQ, es decir PU = PQ^2 / QR.
El límite de las circunferencias PQU cuando Q \to P (sobre la trayectoria del punto móvil) es la circunferencia osculatriz a la curva en P, y el límite de las cuerdas PU es la cuerda PV de la osculatriz en P que está en la recta PS. Entonces \displaystyle PV = \lim_{Q \to P} \frac{PQ^2}{QR}, y por tanto, sustituyendo en el corolario anterior, F_P \propto \dfrac{1}{SY^2 \cdot PV}.

Corolario 4.
Si v_P es la velocidad del punto móvil cuando pasa por P, por el corolario 1 de la proposición 1, v_P \propto \dfrac{1}{SY}. Entonces, por el corolario anterior, F_P \propto \dfrac{v_P^2}{PV}.

Corolario 3′.
Este no aparece en los Principia, sino en la nota 212 (vol I, pag 81). de la edición de Le Seur y Jacquier, que dicen que fue propuesto por Johann Bernouilli, De Moivre y Guido Grandi.
Si la circunferencia de la figura es la osculatriz en P, como \angle YSP = \angle VPP', los triángulos VPP' y YSP son semejantes y PV/PP' = SY/SP, o PV= SY \cdot PP'/ SP, y sustitutuyendo en la fórmula del corolario 3, F_P  \propto \dfrac{SP}{SY^3 \cdot OP}.

Corolario 5.
En palabras de Newton:
“De aquí que, si se da una figura curvilínea APQ y se da también en ella el punto S al que se dirige continuamente la fuerza centrípeta, se puede hallar la ley de la fuerza centrítepa por la que un cuerpo P es retenido en el perímetro de dicha figura, desviado continuamente de la trayectoria recta, y que describirá una órbita.
Efectivamente, se puede hallar calculando, o bien el sólido \dfrac{SP^2 \cdot QT^2}{QR}, o bien el sólido SY^2 \cdot PV, inversamente proporcional a dicha fuerza.”


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Newton, Principia, Proposición 6

Sean AC y FG arcos de la misma o diferentes trayectorias de un punto que se mueve sujeto a una fuerza central ejercida desde un punto fijo S, recorridos en intervalos de tiempo Δt1 y Δt2 y sean B y D las intersecciones de la trayectoria con las semirectas que pasan por S y los puntos medios b,d de las cuerdas AC,FG.
La proposición 6 de los Principia demuestra que si FB es la fuerza ejercida desde S en el punto medio del arco AC, y FD es la fuerza ejercida desde S en el punto medio del arco FG, entonces la razón FB/FD entre las fuerzas es igual al límite, cuando Δt1 y Δt2 tienden a cero, de la razón (Bb·Δt22)/(Dd·Δt12), o, dicho de otra forma, las fuerzas son últimamente proporcionales directamente a las ‘sagitas’ Bb y Dd e inversamente a los cuadrados de los tiempos.

Porque, por un lado, si los intervalos Δt1, Δt2 son iguales, el límite de la razón entre las sagitas es igual a la razón entre las fuerzas. Este es el corolario 4 del teorema 1, que Newton justifica observando que en un paralelogramo de fuerzas, la sagita Bb, en la figura, es la mitad del vector que representa la fuerza ejercida en B hacia S.

Por otro lado, dada una fuerza, al decrecer el intervalo de tiempo (es decir, la longitud del arco AC) hacia cero, la sagita es últimamente proporcional al cuadrado del arco, lo que Newton demostró en el lema 11, observando que llegando al límite podemos sustituir la curva por la circunferencia osculatriz en el punto medio B’ del arco y que entonces, en la figura, B’C2 = B’b·B’H, por ser B’CH un triángulo rectángulo. Pero la sagita B’b es proporcional a la B’b’ que últimamente es igual a la Bb y la longitud de la cuerda B’C es últimamente la del arco B’C, y entonces la sagita es últimamente como el cuadrado del arco, es decir como el cuadrado de los tiempos.

Alternativamente se puede argumentar que el movimiento de B a C es la suma de un componente inercial BR en la dirección de la tangente y un componente RC, igual últimamente a Bb, debido a la atracción desde S, y el lema 10 dice que los desplazamientos iniciales RC, producidos por una fuerza, son como los cuadrados de los tiempos.

Entonces las sagitas son directamente proporcionales a las fuerzas y al cuadrado de los tiempos, y por tanto las fuerzas son directamente proporcionales a las sagitas e inversamente a los cuadrados de los tiempos.

Como veremos en la entrada siguiente, en los corolarios de esta proposición Newton obtiene unas ‘formulas’ que dan geométricamente la razón entre las fuerzas en diferentes puntos de la(s) trayectoria(s) de un punto móvil sujeto a la ley de la inercia y una fuerza continua cualquiera, ejercida desde un mismo centro de fuerzas.