Media geométrica focal

Sea un punto P en una cónica con foco F y CD la cuerda de la cónica paralela a la tangente en P y que pasa por el foco F.

Demostramos aquí que si PG es el segmento de la normal en P entre la tangente y el eje, entonces PG es la media geométrica de FC y FD.

La paralela al eje por P corta a la directriz en M, y a la paralela a la normal que pasa por F en el punto E. Entonces PG = EF.
La tangente en P y la cuerda CD cortan a la directriz en R y T.

Como EMT y EFT son rectos E,M,T,F son concíclicos y como PFR es recto, M,P,F,R son concíclicos.
Entonces los ángulos PRF y ETF son iguales porque los dos son iguales al PMF=EMF.
Por tanto los triángulos TEF y RPF son semejantes y EF/ET=PF/PR.

Por la propiedad foco-directriz PF/PR = CF/CT = DF/DT, y como estas razones son iguales a EF/ET, por Euclides VI.3  EC y ED son las bisectrices del ángulo TEF.
Entonces el ángulo CED es recto y, por Euclides II.14, EF = PG es media geométrica de FC y FD.

El teorema de Ceva en Johann Bernouilli

El teorema hoy llamado de Ceva, que 600 años antes apareció en el Istikmal de Al-Mutamán, era atribuido a Johann Bernouilli antes de que Michel Chasles, en su Aperçu historique…. (1837), nota VII, pag.294, llamase la atención sobre la obra de Giovanni Ceva.

El teorema aparece en la página 33 del tomo IV de las obras completas de Johann Bernouilli de la siguiente forma:

Una construcción de la osculatriz


Dada una cónica y la tangente en un punto P (que no sea extremo de ejes) podemos obtener el centro de la circunferencia osculatriz en P de la siguiente forma:


Trazamos la simétrica de la tangente respecto a la paralela al eje por P, que cortará a la cónica en un punto K. La cuerda PK es entonces común a la cónica y a la osculatriz en P. (*)


El centro de curvatura N será entonces la intersección de la mediatriz de esa cuerda y de la normal perpendicular a la tangente en P, y la circunferencia con centro N que pasa por P será la osculatriz.

(*) Porque vimos en la entrada anterior que dos cuerdas PK y DE comunes a una cónica y a una circunferencia están igualmente inclinadas respecto al eje de la cónica. Cuando D y E se confunden con P, la cuerda DE se convierte en la tangente en P, la circunferencia que pasa por D,P,E en la circunferencia osculatriz en P, y la cuerda PK en la cuerda común a la cónica y a la osculatriz.



Fuente: G. Salmon. A treatise on conic sections. 1855. Art.247, pag.207.

Cuerdas focales iguales

Dada una cónica y una longitud de una cuerda focal, está dada la razón de los segmentos de la cuerda separados por el foco, porque la media armónica de esos segmentos es fija. Por tanto la figura formada por dos cuerdas focales de la misma longitud tiene un eje de simetria que será el eje de la cónica. (Porque los puntos medios de las cuerdas paralelas PQ y P’Q’ determinan un diámetro de la cónica que es el eje al ser las ordenadas perpendiculares).

Por tanto, en una cónica, si dos cuerdas focales son de la misma longitud, esas cuerdas son simétricas respecto al eje.


Ese resultado nos da el siguiente método para obtener el eje de una cónica a partir de su dibujo:

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El foco y el lado recto

En una cónica la cuerda focal perpendicular al eje es igual al lado recto correspondiente al eje.

Para la parábola los antiguos griegos definían al punto que desde Kepler llamamos foco como el punto situado en el eje a una distancia del vértice de la parábola igual a la cuarta parte del lado recto. (aquí o aquí)

Entonces en la figura, si AR es el lado recto y F el foco, AF=AR/4, y por la definición de parábola FL^2 = AR \cdot AF = AR^2/4,   FL= AR/2   y LL' = AR.

Alternativamente, podemos considerar al eje de la parábola como una cuerda focal, entonces por la entrada anterior FL = 2AF, puesto que 2 es media armónica de 1 e \infty, y por la definición de parábola AR = FL^2/AF = (2AF)^2/AF = 4AF = 2FL.


Para la hipérbola y la elipse (donde FH \cdot AF = FL^2), por el corolario de la entrada anterior, \dfrac{LL'}{AB} = \dfrac{FL^2}{FA \cdot FB}.
Pero por Apolonio I.21, \dfrac{AR}{AB} = \dfrac{FL^2}{FA \cdot FB},   y entonces AR=LL'.

Por tanto en cualquier cónica la cuerda focal perpendicular al eje es igual al lado recto correspondiente al eje

Media armónica focal

Demostramos aquí que, en cualquier cónica, la media armónica de los dos segmentos que separa el foco F en las cuerdas que pasan por él, o cuerdas focales, es la misma para todas esas cuerdas.

Esa media armónica constante será por tanto igual a la mitad FL de la cuerda focal perpendicular al eje.
En la figura   \dfrac{2}{FL} = \dfrac{1}{FM} + \dfrac{1}{FM'} = \dfrac{1}{FN} + \dfrac{1}{FN'}

En la siguiente figura CG es la directriz, F es el foco, AB es una cuerda focal que corta a la cónica en A,B y a la directriz en C y LE es la cuerda focal perpendicular al eje.
Por la propiedad foco-directriz \frac{AF}{AG} = \frac{BF}{BH}, y por tanto \frac{AF}{AC} = \frac{BF}{BC}. Entonces C,F;B,A es una cuaterna armónica de puntos y por tanto CF es la media armónica de CB y CA.
Como por semejanza de triángulos, los segmentos CF,CB,CA son respectivamente proporcionales a FD,BH,AG,   FD = LK es media armónica de BH y AG, y como por la propiedad foco-directriz LK,BH,AG son respectivamente proporcionales a LF,BF,AF,   LF es la media armónica de BF y AF.

Como eso sucede para cualquier cuerda focal, la media armónica de los segmentos en que el foco divide a cualquier cuerda focal es la misma para todas las cuerdas focales.

Como corolario tenemos que la razón entre el producto de los segmentos de 2 cuerdas focales es igual a la razón entre las cuerdas focales.
Porque como \dfrac{1}{FA} + \dfrac{1}{FB} =  \dfrac{1}{FS} + \dfrac{1}{FT}, \dfrac{FA + FB}{FA \cdot FB} = \dfrac{FS + FT}{FS \cdot FT}     y por tanto \dfrac{AB}{ST} =  \dfrac{FA \cdot FB}{FS \cdot FT}.

Además, como demostramos en una entrada anterior, esa razón es igual a la razón entre los productos de los segmentos que forman dos cuerdas cualesquiera paralelas a las cuerdas focales, entre su punto de intersección y la cónica.


Fuente: Charles Taylor, “An introduction to the ancient and modern geometry of conics” (1881), Proposition IX, pag.26.


Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Matesdedavid.

Apolonio I.21

Dados un diámetro AB, un lado recto AC y una dirección de ordenadas ST, en las proposiciones 13 y 12 del primer libro de las Cónicas, Apolonio caracteriza en el plano a la elipse y a la hipérbola como el lugar geométrico de los puntos S,T tales que los cuadrados sobre XS y XT son iguales al rectángulo AH, en las figuras anteriores.

A partir de ahí   \dfrac{CA}{AB} = \dfrac{XH}{XB} = \dfrac{XH \cdot XA }{XB \cdot XA} = \dfrac{XS^2}{XA \cdot XB}
Y, por tanto si YU es otra ordenada de la cónica central \dfrac{XS^2}{YU^2} = \dfrac{XA \cdot XB}{YA \cdot YB}, que es la proposición I.21 de Apolonio.

La misma propiedad (para el eje de la cónica) se demuestra a partir de la definición moderna de las cónicas como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un foco y a una directriz están en una razón dada.
Por semejanza de triángulos, en la figura \dfrac{XS}{XB} = \dfrac{DC}{DB}   y   \dfrac{XS}{XA} = \dfrac{DE}{DA} y por tanto \dfrac{XS^2}{XA \cdot XB} = \dfrac{DC \cdot DE}{DA \cdot DB }.
Pero DC \cdot DE = DF^2, porque vimos que \angle CFE es recto.
Entonces \dfrac{XS^2}{XA \cdot XB} es constante, y la curvas definidas mediante la propiedad foco-directriz son las mismas que las definidas por Apolonio.

Poncelet obtiene el resultado de esta entrada en el artículo 39 de su Traité des propriétés projectives como caso particular de Apolonio III.16-21, que Poncelet demuestra como vimos sin usar la proposición I.21 de Apolonio.