El ‘jeu du franc-carreau’

Unas citas para la historia del problema de la aguja de Buffon.

Carta de Cramer a Stirling 22 febrero 1732
He aquí un problema que me ha ocupado los últimos días, y que quizá será del gusto del Sr. De Moivre. Puede que no conozcais el que en francés llamamos el ‘jeu du franc carreau’ (juego de la baldosa franca).
En una habitación pavimentada con baldosas, se lanza al aire un escudo. Si cae sobre una sola baldosa, se dice que cae franco, y el que lo lanzó gana. Si cae sobre dos o más baldosas, es decir, si cae sobre la raya que separa las baldosas, el que lo lanzó pierde.
Un problema a resolver que no tiene ninguna dificultad es encontrar la probabilidad de ganar o perder, dadas las baldosas y la moneda.
Pero si en lugar de tirar al aire un escudo redondo, se tira una moneda cuadrada el problema me ha parecido bastante difícil, bien porque lo sea por naturaleza, bien porque la vía por la que lo he resuelto no sea la mejor.



Actas de la “Academie royale des sciences”.
Procès verbaux de 25 abril 1733 (transcrito aquí)
Los Sres. de Maupertuis y Clairaut han hablado así sobre una memoria presentada por el Sr. Le Clerc. [es decir, Buffon]
Hemos examinado por orden de la Academia una memoria sobre el juego del ‘franc-carrreau’ por el Sr. Le Clerc…Los problemas de este juego que se juega ordinariamente con una moneda redonda dependen del diámetro de la moneda y de las dimensiones de las baldosas. Este es el caso más simple y el primero del que el Sr. Le Clerc resuelve las cuestiones.
Pero cuando la moneda que se arroja no es redonda la dificultad aumenta mucho, pero no impide en ningún caso el método del Sr. Le Clerc. Si es cuadrada se ve que su centro puede caer a la misma distancia de una raya y que su superficie se encontrará o no encima de la raya segun sea mayor o menor el ángulo con su lado. La determinación de estos problemas depende de la cuadratura del círculo [i.e, de pi].
El Sr. Le Clerc pasa a otro caso de este juego. Supone que en lugar de en una habitación pavimentada se juega sobre un plano separado por rayas paralelas y que el cuerpo que se arroja tiene longitud sin anchura como una varilla de determinada longitud. Resuelve también los problemas de este juego con mucha elegancia por el área de la cicloide. Todo esto muestra, además de mucho saber en geometría, mucho ingenio en el autor.


Buffon, Tratado de arimética moral, cap. XXIII
…El juego del ‘franc-carreau’ puede servirnos de ejemplo: he aquí sus reglas que son bien simples.
En una habitación entarimada o pavimentada con baldosas iguales, de una forma cualquiera, se tira al aire un escudo. Uno de los judadores apuesta que este escudo, después de caer, se encuentra en baldosa franca, es decir, sobre un solo cuadrado, el segundo apuesta que este escudo estará sobre dos baldosas, es decir, que cubrirá una de las juntas que los separan, un tercer jugador apuesta que el escudo se encontrará sobre dos juntas, un cuarto que se encontrará sobre tres, cuatro o seis juntas. Se piden las suertes de cada uno de esos jugadores. (p.91)
………………………
Pero si en lugar de tirar al aire una moneda redonda, como un escudo, se tirase una moneda con otra forma, como una pistola de España cuadrada, una aguja, una varilla, etc, el problema exigiría algo más de geometría, aunque en general sea siempre posible dar la solución por comparación de espacios, como vamos a demostrar….
(p.95)


La memoria de Buffon de 1733 se perdió. Y el ‘Tratado de arimetica moral’, escondido en un suplemento de su Historia Natural, quizá no fue conocido por Laplace, quien volvió a plantear el problema, sin mencionar a Buffon.

Sobre el ‘jeu du franc-carreau’:
http://revue.sesamath.net/spip.php?article715


Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.

Un comentario sobre “El ‘jeu du franc-carreau’

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